Przykłady zastosowań równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego

Przy pomocy równań liniowych rzędu drugiego opisuje sie wiele zagadnień fizycznych, np. zagadnienia związane z ruchem drgającym. Drganiami harmonicznymi nazywamy drgania wykonywane przez ciało, na które działa siła: \( \hskip 0.3pc \vec{F}=-k\vec{r}.\hskip 0.3pc \) W jednowymiarowym przypadku Rys. 1 można ją zapisać jako: \( \hskip 0.3pc F=-kx,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) to stała dodatnia, a \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) jest to wartość wychylenia z położenia równowagi. Znak minus związany jest z tym, że siła działająca na ciało jest przeciwnie skierowana, niż wychylenie z położenia równowagi.

Rysunek 1:

Przykład 1:

Równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona dla jednowymiarowych drgań harmonicznych ma postać:

(1)

\( mx^{\prime\prime}(t)=-kx(t) , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) oznacza czas, a \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) masę ciała.
Po podzieleniu obu stron równania ( 1 ) przez \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) i przyjęciu oznaczenia \( \hskip 0.3pc \omega_0 =\sqrt{\frac{k}{m}}\hskip 0.3pc \) dla częstotliwości drgań własnych, dostajemy równanie:

\( x^{\prime\prime}(t)+\omega_0^2x(t)=0 . \)

Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące:

\( \lambda ^2+\omega_0 ^2=0, \)

jego pierwiastkami są \( \hskip 0.3pc \lambda _1=i\omega_0,\hskip 0.5pc \lambda_2=-i\omega_0.\hskip 0.3pc \)
Zatem roziązanie ogólne równania ( 1 ) ma postać

\( x(t)=c_1\cos(\omega_0t)+c_2\sin(\omega_0t). \)

Ponieważ istnieje \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) takie, że

\( \dfrac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}=\cos\varphi \hskip 1pc {\rm i} \hskip 1pc \frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}=\sin\varphi \)

i przyjmując oznaczenie \( \hskip 0.3pc A=\sqrt{c_1^2+c_2^2},\hskip 0.3pc \) rozwiązanie \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc \) możemy zapisać:

\( \begin{aligned}x(t)=&\sqrt{c_1^2+c_2^2} \left(\dfrac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\cos(\omega_0t) +\dfrac{c_2}{ \sqrt{ c_1^2 +c_2^2}} \sin(\omega_0t)\right)=\\&A\Big(\sin\varphi\cos(\omega_0t)+\cos(\varphi)\sin(\omega_0t)\Big)=A\sin(\omega_0t+\varphi),\end{aligned} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) oznacza amplitudą drgań, a \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) ich fazę.

Przykład 2:

Równanie opisujące drgania harmoniczne tłumione, w przypadku gdy opór jest proporcjonalny do prędkości, jest postaci:

(2)

\( mx^{\prime\prime}(t)=-kx(t)-\beta x^{\prime}(t) , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \beta\hskip 0.3pc \) jest dodatnią stałą (współczynnik oporu ośrodka).
Po podzieleniu obu stron powyższego równania przez \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) i przyjęciu oznaczeń
\( \hskip 0.3pc \gamma=\frac{\beta}{2m}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \omega_0 =\sqrt{\frac{k}{m}},\hskip 0.3pc \) równanie ( 2 ) można zapisać w postaci

\( x^{\prime\prime}(t)+2\gamma x^{\prime}(t)+\omega_0^2x(t)=0 . \)

Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące:

(3)

\( \lambda ^2+2\gamma\lambda +\omega_0 ^2=0. \)

Możemy wyróżnić trzy przypadki w zależności od znaku wyrażenia \( \hskip 0.3pc \gamma^2-\omega_0^2.\hskip 0.3pc \)
Przypadek I
Jeśli \( \gamma^2-\omega_0^2>0 \).
Wtedy pierwiastkami równania ( 3 ) są

\( \lambda _1=-\gamma+\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}, \hskip 1pc \lambda_2=-\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} \)

Roziązanie ogólne w tym przypadku ma postać

\( x(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}. \)

Przypadek II
Jeśli \( \hskip 0.3pc \gamma^2-\omega_0^2=0\hskip 0.3pc \).
W tym przypadku równanie ( 3 ) ma jeden pierwiastek podwójny \( \hskip 0.3pc \lambda=-\gamma\hskip 0.3pc \) i rozwiązanie ogólne ma postać

\( x(t)=e^{-\gamma t}(c_1+c_2t). \)

Przypadek III
Jeśli \( \gamma^2-\omega_0^2<0 \).
W tym przypadku pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone

\( \lambda _1=-\gamma+i\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}, \hskip 1pc \lambda_2=-\gamma-i\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} \)

i rozwiązanie ogólne ma postać

\( x(t)=e^{-\gamma t}\left(c_1\cos(t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2})+c_2\sin(t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}) \right ). \)

Używając tych samych oznaczeń, jak w przykładzie 1, rozwiązanie \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc \) można zapisać w postaci:

\( x(t)=Ae^{-\gamma t}\sin(t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}+\varphi). \)

Przykład 3:

Drgania wymuszone dla zewnętrznej siły wymuszającej zmieniającej się okresowo \( \hskip 0.3pc F=F_0\cos(\omega t),\hskip 0.3pc \) kiedy nie występuje tłumienie, opisane są równaniem

(4)

\( mx^{\prime\prime}(t)=-kx(t)+F_0\cos(\omega t) , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F_0\hskip 0.3pc \) jest stałą.
Dzieląc obu stronie powyższe równanie przez \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) i przyjmując oznaczenia \( \hskip 0.3pc \omega_0 =\sqrt{\frac{k}{m}}\hskip 0.3pc \) (częstotliwość drgań własnych) i \( \hskip 0.3pc A_0=\frac{F_0}{m},\hskip 0.3pc \) dostajemy równanie:

(5)

\( x^{\prime\prime}(t)+\omega_0^2x(t)=A_0\cos(\omega t) . \)

Rozważymy dwa przypadki:
Przypadek I
Dla \( \hskip 0.3pc\omega_0\neq \omega. \)
Rozwiązanie równania jednorodnego jest takie samo jak w przykładzie 1;

\( x_0(t)=c_1\cos(\omega_0t)+c_2\sin(\omega_0t). \)

Szukamy rozwiązania szczególnego równania ( 5 ) w postaci funkcji

\( X(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t). \)

Podstawiamy \( \hskip 0.3pc X(t)\hskip 0.3pc \) i

\( X^{\prime\prime}(t)=-a\omega^2\cos(\omega t)-b\omega^2\sin(\omega t) \)

do równania ( 5 )

\( X^{\prime\prime}(t)+\omega_0^2X(t)=a(\omega_0^2-\omega^2)\cos(\omega t)+b(\omega_0^2-\omega^2)\sin(\omega t)=A_0\cos(\omega t). \)

Powyższa tożsamość zachodzi gdy \( \hskip 0.3pc A_0=a(\omega_0^2-\omega^2)\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc b(\omega_0^2-\omega^2)=0.\hskip 0.3pc \)
Stąd wynika, że

\( b=0\hskip 0.5pc {\rm i} \hskip 0.5pc X(t)=\frac{A_0}{\omega_0^2-\omega^2}\cos(\omega t). \)

Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 5 ) ma postać:

\( x(t)=\frac{A_0}{\omega_0^2-\omega^2}\cos(\omega t)+c_1\cos(\omega_0t)+c_2\sin(\omega_0t). \)

Zauważmy, że rozwiązanie to jest ograniczone

\( \vert x(t)\vert \leq \frac{2A_0}{\vert\omega_0^2-\omega^2\vert}+ \sqrt{c_1^2+c_2^2}. \)

Przypadek II
Dla \( \omega_0= \omega. \)
Ponieważ pierwiastkami równania charakterystycznego

\( \phi (\lambda)=\lambda^2+\omega_0^2=0 \)

są liczby \( \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc i\omega_0, \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc -i\omega_0\hskip 0.3pc \) a funkcja po prawej stronie równania ( 5 ) jest postaci \( \hskip 0.3pc A_0\cos(\omega_0 t),\hskip 0.3pc \) więc szukamy rozwiązania szczególnego w postaci:

\( X(t)=t\left( a\cos(\omega_0 t)+b\sin(\omega_0 t)\right). \)

Wyznaczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji \( X(t) \):

\( X^\prime (t)=a\cos(\omega_0t)+b\sin(\omega_0t)+\omega_0t\left(-a\sin(\omega_0t)+b\cos(\omega_0t)\right) \)

\( X^{\prime\prime}(t)=2\omega_0\left[-a\sin(\omega_0t)+b\cos(\omega_0t)\right]-\omega_0^2t\left[a\cos(\omega_0t)+b\sin(\omega_0t)\right]. \)

Podstawiając \( X(t) \) i \( X^{\prime\prime}(t) \) do równania ( 5 ) otrzymujemy następującą tożsamość

\( -2a\omega_0\sin(\omega_0t)+2b\omega_0\cos(\omega_0t)=A_0\cos(\omega_0t). \)

Powyższa równość zachodzi gdy \( \hskip 0.3pc a=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc b=\frac{A_0}{2\omega_0},\hskip 0.3pc \) zatem

\( X(t)=\frac{A_0t}{2\omega_0}\sin(\omega_0t). \)

Rozwiązanie ogólne równania ( 5 ) ma postać

\( x(t)=\frac{A_0t}{2\omega_0}\sin(\omega_0t)+c_1\cos(\omega_0t)+c_2\sin(\omega_0t). \)

Amplituda tego rozwiązania jest następująca

\( \sqrt{(\frac{A_0t}{2\omega_0}+c_2)^2+c_1^2} \)

i rośnie do nieskończoności z czasem. W takim przypadku mamy do czynienia ze zjawiskiem rezonansu.

Przykład 4:

Przeanalizujemy rozwiązania równania ( 4 ), gdy \( \hskip 0.3pc m=0.25kg,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc F_0=0.5N,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc k=4N/m,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \) z warunkiem poczatkowym
\( \hskip 0.3pc x(0)=0,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc x^\prime (0)=0\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc \omega=3.6s^{-1}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \omega=3.8s^{-1}\hskip 0.3pc \omega=4s^{-1}.\hskip 0.3pc \) W naszym przypadku \( \hskip 0.3pc \omega_0 =\sqrt{\frac{k}{m}}=4.\hskip 0.3pc \)
Dla \( \hskip 0.3pc \omega=3.6s^{-1}\hskip 0.3pc \) rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja

\( x(t)=0.657895(\cos(3.6t)-\cos(4t)). \)

Dla \( \hskip 0.3pc \omega=3.8s^{-1}\hskip 0.3pc \) rozwiązaniem problemu poczatkowego jest funkcja

\( x(t)=1.28205(\cos(3.8t)-\cos(4t)). \)

W obu przypadkach amplitudy drgań są ograniczone, ale im \( \hskip 0.3pc \omega\hskip 0.3pc \) jest bliżej \( \hskip 0.3pc \omega_0 ,\hskip 0.3pc \) tym amplitudy drgań są większe.
Dla \( \hskip 0.3pc \omega=4s^{-1}\hskip 0.3pc \) rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja

\( x(t)=0.25t\sin(4t). \)

Amplituda drgań w tym przypadku wynosi \( \hskip 0.3pc 0.25t\hskip 0.3pc \) i zmierza z czasem do nieskończoności .
Rys. 2 przedstawia wykresy omawianych rozwiązań

Rysunek 2:

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Przykłady zastosowań równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego

Przykład 1:

Przykład 2:

Przykład 3:

Przykład 4: